LEY DE LOS SENOS

Para un triángulo con lados a, b y c, y ángulos opuestos α, β y θ, y se representa:

Para poder resolver un triángulo con la ley de seno se utiliza así:

α =  40°; β =  60° y a = 4

Solución:

Efectúa la suma de los ángulos interiores de cualquier triangulo:

40° + 60° + θ = 180

         

 θ = 180° - 100°

θ = 180°

Como aplicar cada una de la formulas:

Datos:

a = 4                                    β =  60°               

α =  40°                               θ = 80°

1.     Formula: Se aplica con las datos anteriores

2.     Formula: se estable la siguiente ecuación

De la ecuación n.1 se despeja la incógnita b:

= 5.38 unidades lineales

De la ecuación n.2 se despeja la incógnita c:

= 6.12 unidades lineales 

POLÍGONOS CONGRUENTES, TEOREMA DE PITÁGORAS Y RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

POLÍGONOS CONGRUENTES 

Los polígonos congruentes son aquellos que tienen la misma forma y tamaño .

si dos triángulos son congruentes, entonces:

a) sus lados homólogos son iguales

b)sus ángulos homólogos son iguales

ejemplo:

Los triángulos ABC y A´B´C´ son congruentes por que tienen iguales tanto sus lados como sus ángulos; es decir, hay igualdad entere los 3 pares de lados y 3 pares de ángulos

A´B´C´ : se le llama A´ prima B´ prima y C´ prima 

CASOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 

Teorema I (lado, lados , lado)

Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados iguales

Teorema II (angulo,lado,angulo)

Dos triángulos son congruentes si tiene 2 ángulos y el lado adyacente a ellos son respectivamente iguales  

   

Teorema III (lado, angulo,lado)

Dos triángulos son congruentes si 2 lados y el angulo comprendido entre ellos son respectivamente iguales que los homólogos del otro

EL TEOREMA DE PITÁGORAS

El teoremas de pitágoras resuelve únicamente lado de triángulos.

Triangulo de 90°se denomina triangulo rectángulo.

el lado al angulo recto se llama hipotenusa y los dos lados restantes se llama catetos. llamamos c a la hipotenusa para indicar que su longitud es de c unidades y , con el mismo fin llamamos a y b a los catetos.

 

El triangulo siguiente donde a=3, b = 4 y c = 5 en cada lado un cuadrado que se divide en cuadros exactos.

Ejemplo de solución:

 

Ejemplos:

a=3 cm                 b= 4 cm          c =    5 m

a =5 cm              b = 12 cm        c = 13 cm

Ejemplos:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 

El teorema de pitágoras y razones de trigonométrica se utiliza para rectángulos triángulos.

La razones trigonométricas resuelven ángulos y lados.

Las razones trigonometricas de un angulo agudo en un triangulo rectangulo estan en funcion de 0 y se nombran y abebian como el siguiente cuadro:

Abrebiaturas de la razones 

Para poder analizar estas razones debemos expresar el angulo agudo 0 como una variable independiente, que puede ser simple numero real o un numero real que detone la medidad de un angulo en grados o en radiales; entonses, detonaremos, por ejemplo esta varible independiente la llamremos argumento.

razones trigonometriacas de un angulo agudo

Supongamos que 0 es un angulo; es decir 0 ° < 0 <90° (si 0 se mide en grados) o 0 < 0 < pi/2  (si 0 se mide en redienes).coloca 0 en posicion estandar y sea P = (a ,b) cualquier puento excepto el origen 0, sobre el lado terminal 0.

el triangulo de arriba trazado una perpendicular al eje x desde P, como se muestra en el triagulo.

odeserva cada una de las funciones.

RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIANGULO

Mediatriz de un segmento:

Definición:

1.-recta perpendicular trazada en el punto medio de cada lado del triangulo

2.-cada punto de la mediatriz equidista de los textos del segmento

3.-las tres mediatrices de un triangulo se cortan en un punto llamado CIRCUNCENTRO

4.-es el centro de la circunferencia circunscrita en el triangulo

Bisectriz de un triangulo:

1.-recta notable que corresponde a la bisectriz de un Angulo es la recta que parte de su vértice y divide al Angulo en dos ángulos iguales

2.- cada punto de la bisectriz esta a la misma distancia de los lados del Angulo 3.- las tres bisectriz interiores de un triangulo se cortan en un punto llamado INCENTRO

4.-el incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triangulo

Mediana  de un triangulo:

1.- Segmento trazado des un vértice hasta el punto medio del lado opuesto

2.-las tres medianas se cortan en un mismo punto llamado BARICENTRO

3.-el baricentro es el centro  de gravedad del triangulo donde se se corta la mediana

Altura de un triángulo

1.     Es la perpendicular trazada des de un vértice al lado opuesto o su prolongación. La altura de un triangulo es el menor segmento trazado desde un vértice al lado opuesto.

2.     La altura relativa a un lado es perpendicular a dicho lado trazado desde el vértice opuesto

3.     La altura de un triangulo se corta en un punto llamado ORTOCENTRO .en la recta de Euler

4.     El orto centro , baricentro, de un triangulo son coloniales, es decir que siempre se encuentran en la misma línea recta llamada recta de Euler, en nombre de su descubridor

Recta de Euler

  Es aquel que contiene las siguientes características orto centró, baricentro, circuncentro

Semejante

Tienen la misma forma y diferente tamaño y su símbolo es           semejante

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE 

Alternos          Internos

(4,6)                  (3,5)

Alternos            Externos

(1,7)                    (2,8)

Correspondiente                 Conjugados Internos

(1,5) (4,8) (3,7)                      (3,6)   (4,5) 

Conjugados Externos

(2,7) (1,8) 

Alternos          Internos

(c, f)                  (d, e)

Alternos            Externos

(a, h)                    (b, g)

Correspondiente                 Conjugados Internos

(a, e) (c, g) (d, h)                      (d, f)   (c, e) 

Conjugados Externos

(b, h) (a, g) 

SISTEMA PARA MEDIR ÁNGULOS

 *Decimal

    -Base es 10 

   -Punto 

   -Como supra índice ° (indica grados) 

   *Sexagesimal

   -Base es 60°

   -Grado (°), minuto (‘) y segundo (“) = (°’”)

   *Cíclico

   -Radian (cuando la longitud del arco mide lo mismo) 

   - π

     -Rad o valores expresados en relación a π 

      3 rad, 6 rad (360°)

      3/4 

SS -> SD % 60 

20° 30’ => 20.5

30’/60 = 0.5

17°  42’=> 17.7°

42/60 = 0.7 

3478°  54’  37”=> 3478. 91

54/60= 0.9

37/60= 0.01

54+0.6= 54.6/60 = 0.91 

93° 37’ 40”=> 93.62

37/60= 0.61

40/60= 0.66/60= 0.01

0.61 + 0.01= 0.62 

                        

                            SISTEMA DECIMAL A S S  X60

25.5° => 25°  30’

0.5 (60)= 30’

30.52=> 30° 31’ 12”

0.52 (60)= 31.2

0.02 (60)= 12

137.3492=>  137° 20’ 52.12”

0.3492 (60)= 20.952’

0.952 (60)= 57.12 

                              CON CARCULADORA (°’”)

14.8732°=> 14° 52’ 23.52”

157.86=>  157° 51’ 36”

194.9436=> 194° 56’ 36.9”

37° 22’ 59”=> 37° 22’ 59”

19.36°=> 19° 21’ 36” 

0. 18947=> 0° 11’ 22.09” 

26°57’ 94”=> 26° 58’ 34” 

RELACIÓN ENTREGADOS Y RADIANES DEFINICIÓN

360°

 P= π x D 

360°= π x 2xr

360°= π x 2 rad

360°/2= π.rad

 180°= π rad

1rad= ¿? Grado

180° = π rad 

180/ π= rad 

57.295779551 

180°= rad 

1°= ¿? Rad

 180°/180°= π.rad 180 

1°= π/180 rad 

(5 π)

Rad= 180°/ π (5 π) 

5 π rad= 5 π/ π 180°

5 π rad= 5 (180°)

5 π rad= 900° 

5/4 π rad= ¿?°

(5/4 π) rad= 180°/ π (5/4 π)

5/4 π rad= 5 π/4 π (180°)

=5/4 (180°)

5/4 π rad= 225° 

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS SEGÚN SUS LADOS

∆ ABC

∆ ACB

AB = c

CA= b

CB= a

1-. ESCALENO: Son aquellos cuyo 3 lados son distintos

2-. ISÓSCELES: Tiene 2 lados iguales y otro desigual

3-. EQULATERO: Tiene sus 3 lados iguales 

Angulos

RECTAS

Rectas paralelas: línea que mantienen un equidistancia entre si aunque prolongamos su trayectoria hasta el infinito.


Rectas perpendiculares: dos rectas son perpendiculares al cortarse forman 4 angulos iguales de 90°



Rectas oblicuas: forman parte del conjunto de las rectas secantes y tienen un punto en común.




Rectas convergentes: son las que saliendo de dos puntos del mismo plano a medida de que van avanzando se juntan en punto dado.


Rectas divergentes: son las que saliendo de dos puntos a medida que avanzan se van separando una de otra.



Recta: es un conjunto de puntos que tienen la misma dirección



Punto: es aquel que solo indica una posición



Semi-recta: es aquella recta que conocemos su final pero no su inicio o es aquella recta que se le conoce su inicio pero no su final.



Segmento: es parte de la recta que se conoce su inicio y también su final.



Vértice: es el punto donde se intersectan dos rectas.



CLASES DE ANGULOS:

Angulo agudo: es el que mide menos de 90°



Angulo recta: es aquel que mide exactamente 90°



Angulo obtuso: es aquel que mide mas de 90° pero menos que 180°


Angulo llano: se le conoce como ángulo de lados coliniales es aquel que mide exactamente 180°




Angulo cóncavo: es el ángulo que es mayor de 180° pero menos que 360° también es llamado angulo entrante

Angulo de vuelta o perigono: es el que se origina en un plano debido a la rotación completa de una recta al rededor de un punto dado es decir gira la recta hasta traerla a su posición original su valor es de 360°

PARES DE ANGULOS:

Ángulos adyacentes: son aquellos formados de manera que un lado es común a los otros dos lados que pertenecen a la misma recta

Angulos complementarios: son dos angulos complementarios cuya suma es un angulo recto esto es de 90°

Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios y cada uno es el suplemento del otro cuando su suma es de 180°

Ángulos conjugados: son conjugados cuando su suma es de 360° o bien a un angulo llamado perigono.

Ángulos opuestos por el vértice: son aquellos cuyos lados de una son las prolongaciones de otros esto es los ángulos opuestos por el vértice.

Ángulos consecutivos: son aquellos que tienen un lado común que separa a los otros dos. Varios ángulos son consecutivos si el primero es consecutivo del segundo, este del tercero y así sucesivamente.

ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE:

Una recta secante es una línea transversal que corta dos o mas rectas.

dos rectas paralelas cortadas por una secante se les denomina:

1.- ángulos internos: son cuatro, conformado por los ángulos

2.- ángulos externos: son cuatro, conformado por los ángulos

los ángulos anteriores se clasifican como sigue:

1.- ángulos alternos e internos: los ángulos internos,  llamados  llamados no adyacentes están situados en distinto lado de la secante

2.- ángulos alternos externos: ángulos externos no adyacentes, situados en distinto lado de la secante

3.- ángulos correspondientes: los dos ángulos no adyacentes, situados en el mismo lado de la secante

4.- conjugados o colaterales: son dos ángulos internos ,o dos externos situados del mismo lado de la secante

decimos por lo tanto que si dos paralelas son cortadas por una secante:

1.- los ángulos alternos internos son iguales

2.- los ángulos alternos externos son iguales

3.-los ángulos correspondientes son iguales

4.- los ángulos conjugados o colaterales internos son suplementarios

5.- los ángulos conjugados o colaterales externos son suplementarios